Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.10.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.2

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.5

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.1.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 5}$ como ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x + 5$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.13

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.15

Combina $\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.17

Mueve ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.18

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3.19

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 7$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.6

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.14

Multiplica $\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.15

Mueve ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.8

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.4.1

Reescribe ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 x + 5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4.2

Reescribe ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Para escribir $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Paso 1.5.2

Para escribir $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Paso 1.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{2 x + 5} \cdot 2 \sqrt{x + 7}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ por $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{\sqrt{2 x + 5} (2 \sqrt{x + 7})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Paso 1.5.3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Paso 1.5.3.3

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ por $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{x + 7} \sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Paso 1.5.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Paso 1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Paso 1.6

Divide $\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.8

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.11

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.12

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} (2 x + 5) (x + 7)}}$

Paso 2.13

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5 \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Paso 2.14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Paso 2.15

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Paso 2.16

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Paso 2.17

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7)}}$

Paso 2.18

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{4 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.6

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{9}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.1.10

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(4 + 5) (2 + 7)}}$

Paso 4.2.2

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 (2 + 7)}}$

Paso 4.2.3

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 9}}$

Paso 4.2.4

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{81}}$

Paso 4.2.5

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9^{2}}}$

Paso 4.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$