Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{5}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{- 10}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 10 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.2.7.2.4

Divide $- 5 x$ por $1$ .

$- 5 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 5 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.4

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$- 5 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.6

Combina $\frac{9}{2}$ y $x^{- 4}$ .

$- 5 x + \frac{9 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.3.7

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 (3 x^{2})$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 6 x^{2}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = 6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$12 x - 5 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\frac{9}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.4.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.4.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.4.8

Combina $- 4$ y $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Paso 2.4.9

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Paso 2.4.10

Combina $\frac{- 36}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Paso 2.4.11

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.12

Cancela el factor común de $- 36$ y $2$ .

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Paso 2.4.12.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.12.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Paso 2.4.12.2.2

Cancela el factor común.

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.12.2.3

Reescribe la expresión.

$12 x - 5 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Paso 2.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 x - 5 - \frac{18}{x^{5}}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$f'' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$