Cálculo Ejemplos

$4 - x y = y - 4 x^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 - x y) = \frac{d}{d x} (y - 4 x^{4})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 - (x y' + y)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - (x y') - y$

Paso 2.3.2

Resta $- (- x y' - y)$ de $0$ .

$- x y' - y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$y' - 4 (4 x^{3})$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y' - 16 x^{3}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$- 16 x^{3} + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' - y = - 16 x^{3} + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y - y' = - 16 x^{3}$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y' = - 16 x^{3} + y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- x y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) - y' = - 16 x^{3} + y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} + y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ por $- x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ por $- x - 1$ .

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 16 x^{3} + y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3}) + y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3}) - 1 (- y)}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (16 x^{3}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.6

Reescribe $- (16 x^{3} - y)$ como $- 1 (16 x^{3} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1}$

Paso 5.4.3.8

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1 (1)}$

Paso 5.4.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x + 1)}$

Paso 5.4.3.10

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

Paso 5.4.3.11

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

Paso 5.4.3.12

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$