Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (3 x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Expande $(3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$