Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $b$ .

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $30$ de ${(x - b)}^{30}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa el límite de $4 b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $b$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $b$ para $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $b$ para $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.8.1

Combina los términos opuestos en ${(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b$ .

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Paso 1.1.2.8.1.1

Resta $b$ de $b$ .

$\frac{0^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.8.1.2

Suma $- 4 b$ y $4 b$ .

$\frac{0^{30} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.8.1.3

Suma $0^{30}$ y $0$ .

$\frac{0^{30}}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.2.8.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $b$ para $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Paso 1.1.3.3

Resta $b$ de $b$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{30}$ y $g (x) = x - b$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{30}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 30$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 u^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.4

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $30$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.5

Como $4 b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.6

Suma $30 {(x - b)}^{29} - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Paso 1.3.9

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1}$

Paso 1.4

Divide $30 {(x - b)}^{29} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - 4$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $b$ .

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Paso 2.2

Mueve el término $30$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$30 lim_{x \to b} {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Paso 2.3

Mueve el exponente $29$ de ${(x - b)}^{29}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $b$ para $x$ .

$30 {(b - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Resta $b$ de $b$ .

$30 \cdot 0^{29} - 1 \cdot 4$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$30 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Paso 4.2.2

Multiplica $30$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 - 4$

Paso 4.3

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$