Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

Paso 1

Divide $x - 2$ por $3 x + 6$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$6$

$x$

$2$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 2$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

Paso 6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

Paso 7

Sea $u = 3 x + 6$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 3 x + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $3 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 4$ .

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 6$ .

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$