Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2 π} t^{2} \sin (2 t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{2}$ y $d v = \sin (2 t)$ .

$t^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{1}{2}$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (2 t)}{2})]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Paso 2.2

Combina $t^{2}$ y $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- \frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 1}{1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Paso 4.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Paso 4.5

Multiplica $\int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$ por $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = \cos (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t (\frac{1}{2} \sin (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t \frac{\sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Paso 6.2

Combina $t$ y $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (2 t) d t)$

Paso 8

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Paso 8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 9

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Paso 12

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Paso 13

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.1

Combina $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ y $\frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Paso 13.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.1

Insert parentheses.

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Paso 13.2.1.1

Evalúa $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}$ en $2 π$ y en $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Paso 13.2.1.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $4 π$ y en $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.2.2

Simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$- \frac{{(2 (π))}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (π)$ .

$- \frac{2^{2} π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (4 π)}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $4 π^{2} \cos (4 π)$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 (1)} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 \cdot 1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 π^{2} \cos (4 π)}{1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.3.2.4

Divide $2 π^{2} \cos (4 π)$ por $1$ .

$- (2 π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.4

Simplifica la expresión.

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Paso 13.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.5.1

Cancela el factor común.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.5.2

Divide $π \sin (4 π)$ por $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.6

Simplifica la expresión.

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Paso 13.6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.6.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.6.3

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.7

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 13.7.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.7.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- 0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.8

Multiplica por cero.

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Paso 13.8.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.8.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.8.3

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 13.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.9.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + 0) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.10

Simplifica la expresión.

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Paso 13.10.1

Suma $0$ y $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.10.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 13.10.3

Suma $- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π)$ y $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Paso 14

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 π^{2} \cos (0) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 π^{2} \cdot 1 + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (0) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 π^{2} + π \cdot 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.6

Multiplica $π$ por $0$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Paso 15.7

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Paso 15.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Paso 15.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Paso 15.10

Suma $- 1$ y $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 15.11

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Paso 15.11.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0 (\frac{1}{4})$

Paso 15.11.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0$

Paso 15.12

Suma $- 2 π^{2}$ y $0$ .

$- 2 π^{2} + 0$

Paso 15.13

Suma $- 2 π^{2}$ y $0$ .

$- 2 π^{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 π^{2}$

Forma decimal:

$- 19.73920880 \dots$