Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Paso 1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 2.4

Combina $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ y $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Paso 4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.3

Combina $\frac{u_{2}}{2}$ y $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 8

Sea $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Entonces $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Paso 8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- {u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $u_{2}$ en $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 8.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $u_{2}$ en $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 8.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ , $d u_{3}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Paso 9.2

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 13

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $e^{u_{3}}$ en $- 1$ y en $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Paso 14.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Paso 15.4

Multiplica $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

Paso 15.4.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Paso 15.5

Mueve $8$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.07901506 \dots$

Paso 17