Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.2.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

Paso 1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

Paso 1.3.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

Paso 1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.3.4.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x - 6$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.7

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Paso 3.11.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 3.13

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Paso 3.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 3.17

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

Paso 3.18

Combina $\frac{1}{4 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

Paso 3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Paso 6

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Paso 11

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

Paso 13

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Paso 15.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

Paso 15.2

Resta $6$ de $6$ .

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

Paso 15.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

Paso 15.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \cdot (4 - 3)$

Paso 15.5

Resta $3$ de $4$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 15.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$