Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (x + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $0$ y $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + e^{x}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + e^{x}) \frac{1}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $1 + e^{x}$ por $\frac{1}{x + e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x}}}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{0}}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{0 + e^{0}}}$

Paso 6.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + e^{0}}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + 1}}$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Paso 6.3

Divide $2$ por $1$ .

$e^{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{2}$

Forma decimal:

$7.38905609 \dots$