Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 28$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ y ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ por $1$ .

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Paso 3.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

Paso 3.2.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.7.1

Cancela el factor común.

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7.2

Reescribe la expresión.

$a = - 28 \cdot 1$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 28$ por $1$ .

$a = - 28$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{9}$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{9}$ por $- 1$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.2.3

Suma $9$ y $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $10$ .

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ por $1$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $9$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.9

Suma $512$ y $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 5.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $513$ .

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $2$ de $512$ .

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$- 28 (\frac{171}{256})$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $4$ de $- 28$ .

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

Paso 5.6.2

Factoriza $4$ de $256$ .

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Paso 5.6.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión.

$- 7 (\frac{171}{64})$

Paso 5.7

Combina $- 7$ y $\frac{171}{64}$ .

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

Paso 5.8

Multiplica $- 7$ por $171$ .

$\frac{- 1197}{64}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1197}{64}$