Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arcsin (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

Paso 3.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$