Cálculo Ejemplos

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(e^{x} + 1)}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(e^{x} + 1)}^{2}$ como $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Paso 4.2

Expande $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.3.1.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Paso 4.3.2

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Paso 6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Paso 7

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Paso 11

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$