Cálculo Ejemplos

$y = \frac{- x^{3} \cdot \cos (x^{3})}{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}]$

Paso 1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x^{3})$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{3} (x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 5.3

Suma $2$ y $3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2

Combina los términos.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.3

Combina $x^{5}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.4

Combina $\frac{x^{5} \cdot 3}{3}$ y $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.6.2

Divide $x^{5} \sin (x^{3})$ por $1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Paso 7.2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

Paso 7.2.8

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3}{3} (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

Paso 7.2.9

Combina $\cos (x^{3})$ y $\frac{- 3}{3}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3} x^{2}$

Paso 7.2.10

Combina $\frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3 x^{2}}{3}$

Paso 7.2.11

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\cos (x^{3})$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3 \cdot \cos (x^{3}) x^{2}}{3}$

Paso 7.2.12

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 7.2.12.1

Factoriza $3$ de $- 3 \cos (x^{3}) x^{2}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3}$

Paso 7.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 (1)}$

Paso 7.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 7.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- \cos (x^{3}) x^{2}}{1}$

Paso 7.2.12.2.4

Divide $- \cos (x^{3}) x^{2}$ por $1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - \cos (x^{3}) x^{2}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$x^{5} \sin (x^{3}) - x^{2} \cos (x^{3})$