Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $π$ es constante con respecto a $x$ , mueve $π$ fuera de la integral.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 2.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Paso 6

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $0$ y en $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Paso 8.2.4

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Paso 8.2.5

Combina $- 64$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Paso 8.2.7

Resta $\frac{64}{3}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Paso 8.2.9

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Paso 8.2.10

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Paso 8.2.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Paso 8.2.12

Mueve $64$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Paso 8.2.13

Cancela el factor común de $64$ y $6$ .

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Paso 8.2.13.1

Factoriza $2$ de $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Paso 8.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.13.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Paso 8.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Paso 8.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32 π}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{32 π}{3}$

Forma decimal:

$33.51032163 \dots$

Paso 10