Cálculo Ejemplos

$\cos (5 x + y) = y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + y$ .

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \sin (5 x + y) (5 + y')$ .

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Paso 5.1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

Paso 5.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

Paso 5.1.1.4.2

Reordena los factores en $- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

Paso 5.2

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

Paso 5.3

Suma $5 \sin (5 x + y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- y' \sin (5 x + y) - y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- y' \sin (5 x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 \sin (5 x + y)$ como $- \sin (5 x + y)$ .

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ por $- \sin (5 x + y) - 1$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ por $- \sin (5 x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Paso 5.6.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (5 x + y)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

Paso 5.6.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

Paso 5.6.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

Paso 5.6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$