Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x - 5}{x^{2} - 5 x - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 5 x - 1$ . Entonces $d u = (2 x - 5) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x - 5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 5 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 5 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 5 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 x - 5$ y $0$ .

$2 x - 5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 5 x - 1$ .

$\ln (| x^{2} - 5 x - 1 |) + C$