Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$ como $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{3}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{3}{x}$ y $\ln (1 + x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3 \ln (1 + x)}{x}}$

Paso 2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{3 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Paso 3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Reordena los términos.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x + 1}$ se acerca a $0$ .

$e^{3 \cdot 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 5.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$