Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} x \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x)$

Paso 4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 6.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 6.4

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 6.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 6.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Para escribir $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.2

Combina $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (e) e^{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.8.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.8.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 6.8.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Forma decimal:

$2.09726402 \dots$