Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Paso 1.2.2.2

Reordena los factores de $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x \sin (x^{2})$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x^{2})$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

Paso 2.11.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ .

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$