Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 6) (x - 6))$

Paso 2

Expande $(x - 6) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 6) - 6 (x - 6))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Paso 3.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)$

Paso 3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot 36$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (18))$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18)$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 18$

Paso 6

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 7

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 7.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Paso 7.3

Simplifica $- \frac{- 6}{2 (0.5)}$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 7.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Paso 7.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (0.5)}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Paso 7.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 3}{0.5}$

Paso 7.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.2.1

Divide $- 3$ por $0.5$ .

$x = - - 6$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$x = 6$

Paso 8

Evalúa $f (6)$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = \frac{36}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Paso 8.2.1.2

Divide $36$ por $2$ .

$f (6) = 18 - 6 \cdot 6 + 18$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$f (6) = 18 - 36 + 18$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $36$ de $18$ .

$f (6) = - 18 + 18$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 18$ y $18$ .

$f (6) = 0$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 9

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(6, 0)$

Paso 10