Cálculo Ejemplos

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{3}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{6}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 x^{5} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $6 x^{5} x'$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $6 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Paso 5.3

Factoriza $2 x x'$ de $8 x x' - 6 x^{5} x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 x x'$ de $8 x x'$ .

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 x x'$ de $- 6 x^{5} x'$ .

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 x x'$ de $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ .

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ por $2 x (4 - 3 x^{4})$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ por $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $4 - 3 x^{4}$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 6 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$