Cálculo Ejemplos

$- y^{3} - 4 x^{2} = - 4 x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{3} - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 3 y^{2} y' - 8 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 12 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 y^{2} y' - 8 x = - 12 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $8 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ por $- 3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ por $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $- 3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 (y^{2})} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$