Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12.2

Multiplica $\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.14

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.15

Para escribir ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16

Combina ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.18.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19

Simplifica ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - 1) \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Simplifica.

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Paso 1.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.21.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + 2 x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 2$ y $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{1}}$

Paso 2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{x - 1}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{x - 1}$

Paso 2.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x - 1}$

Paso 2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x - 1}$

Paso 2.15.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Paso 2.15.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x - 1)}$

Paso 2.16

Simplifica.

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Paso 2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x - 1)}$

Paso 2.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.16.3.1

Agrega paréntesis.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - - 2) \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.2

Sea $u_{2} = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.16.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{3 \cdot 2 u_{2} \cdot u_{2} - 3 x + 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.16.3.2.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x + 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.2.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 {u_{2}}^{2} - 3 x + 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x + 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 {(x - 1)}^{1} - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.1.2

Simplifica.

$\frac{\frac{6 (x - 1) - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 x + 6 \cdot - 1 - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.1.4

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - 6 - 3 x + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.2

Resta $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{3 x - 6 + 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.3.4.3

Suma $- 6$ y $2$ .

$\frac{\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.16.4

Combina los términos.

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Paso 2.16.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2}$

Paso 2.16.4.2

Reescribe $\frac{\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2}$ como un producto.

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2}$

Paso 2.16.4.3

Multiplica $\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x - 2}$ .

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}$

Paso 2.16.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.16.5.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 2.16.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}$

Paso 2.16.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}$

Paso 2.16.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}$

$\frac{3 x - 4}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}$

Paso 2.16.5.2

Combina exponentes.

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Paso 2.16.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}$

Paso 2.16.5.2.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x - 4}{4 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.16.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.16.5.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.16.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.16.5.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x - 4}{4 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 4}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 4}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.3.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.8.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.9

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (1 + 0))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.13

Combina fracciones.

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Paso 3.13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) (\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.13.2

Multiplica $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.13.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14

Simplifica.

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Paso 3.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- (3 x) - - 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.14.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x - - 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + (- 3 x + 4) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 x \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.3

Multiplica $- 3 x \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Paso 3.14.2.3.1

Combina $- 3$ y $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 3 (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + x \frac{- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.3.3

Combina $x$ y $\frac{- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.14.2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (2) \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \cdot 2 \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.14.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.2.6.1.1

Reescribe.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (- 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.6.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x \cdot - 9 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.6.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.7

Para escribir $6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.8

Combina $6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.2.10.1

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Paso 3.14.2.10.1.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.10.1.2

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 9 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 6 \cdot 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.10.1.3

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $6 \cdot 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 2)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.10.1.4

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x) + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 2 \cdot 2)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.11

Para escribir $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.12

Combina $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14

Reescribe $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 3.14.2.14.1

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)$ .

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Paso 3.14.2.14.1.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.1.2

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 \cdot 2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.1.3

Factoriza $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x + 4)$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{1} - 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.3

Simplifica.

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1) - 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 1 - 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 - 3 x + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.6

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x - 2 + 4)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.2.14.7

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.3

Combina los términos.

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Paso 3.14.3.1

Reescribe $\frac{\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{2}}{4 {(x - 1)}^{3}}$ como un producto.

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{2} \cdot \frac{1}{4 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.3.2

Multiplica $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{2}$ por $\frac{1}{4 {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{2 (4 {(x - 1)}^{3})}$

Paso 3.14.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3.14.3.4

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 3.14.3.5

Multiplica ${(x - 1)}^{3}$ por ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.14.3.5.1

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 ({(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 3.14.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 3.14.3.5.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 3.14.3.5.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 3.14.3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 3.14.3.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.3.5.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 3.14.3.5.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{3 (- x + 2)}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 2)}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.5

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 2))}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 (- (x - 2))}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.7

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 2))}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.14.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{3 (x - 2)}{8 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$