Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} - 1$ y $g (x) = 5 x + 2$ .

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $5 x + 2$ .

$\frac{4 \cdot (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.12.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 (5 x) + 4 \cdot 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (5 (x \cdot x)) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Resta $10 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$