Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + 2 x}$ como ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9.3

Mueve ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 12

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 13

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 16

Multiplica $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 17

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Suma $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{x \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 18.2

Combina $x$ y $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 19

Multiplica $\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 20

Simplifica los términos.

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Paso 20.1

Combinar.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 20.3

Cancela el factor común de ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 20.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 20.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 22

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1))}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - - 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 23.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.4

Multiplica ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.5.1

Multiplica ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 23.2.5.1.1

Mueve ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{1} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.2

Simplifica $- {(1 + 2 x)}^{1}$ .

$\frac{x - (1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.5.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.2.6

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23.3

Reordena los términos.

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.7

Factoriza $- 1$ de ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.8

Factoriza $- 1$ de $- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.9

Reescribe $- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ como $- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$