Cálculo Ejemplos

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $t$ sea igual a $1$ .

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

Paso 2

Evalúa $\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Paso 2.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Paso 2.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Paso 2.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Paso 2.2.3.2.4

Suma $18$ y $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.3.1

Multiplica $30$ por $19$ .

$\frac{570}{2}$

Paso 2.2.3.3.2

Divide $570$ por $2$ .

$285$

Paso 2.3

Evalúa $7 \sum_{t = 1}^{9} t$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Suma $9$ y $1$ .

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $9$ por $10$ .

$- 7 (\frac{90}{2})$

Paso 2.3.3.3

Divide $90$ por $2$ .

$- 7 \cdot 45$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 7$ por $45$ .

$- 315$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$285 - 315$

Paso 2.5

Resta $315$ de $285$ .

$- 30$

Paso 3

Evalúa $\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $t$ .

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.3

Resta $7$ de $1$ .

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.6

Resta $14$ de $4$ .

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.7

Resta $10$ de $- 6$ .

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

Paso 3.2.9

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$- 16 + 9 - 21$

Paso 3.2.10

Resta $21$ de $9$ .

$- 16 - 12$

Paso 3.2.11

Resta $12$ de $- 16$ .

$- 28$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$7 (- 30 + 28)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Suma $- 30$ y $28$ .

$7 \cdot - 2$

Paso 5.2

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$- 14$