Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A (x - 4)$ por $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6.4

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Paso 1.1.6.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Paso 1.1.7

Mueve $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 4 A$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 4 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 4 A = 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 4 A = 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

Paso 7

Sea $u = x - 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 7.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

Paso 7.3

Resta $4$ de $2$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Paso 7.5

Resta $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $3$ y en $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 10.2

Combina $\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 10.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Paso 10.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Paso 11.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

Paso 11.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Forma decimal:

$- 0.27465307 \dots$

Paso 13