Cálculo Ejemplos

$y^{4} = 3 x y - 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (3 x y - 5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x y' + y) + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x y') + 3 y + 0$

Paso 3.4.2

Suma $3 x y' + 3 y$ y $0$ .

$3 x y' + 3 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} y' = 3 x y' + 3 y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $3 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} y' - 3 x y' = 3 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $4 y^{3} y' - 3 x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$y' (4 y^{3}) - 3 x y' = 3 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 3 x y'$ .

$y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x) = 3 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x)$ .

$y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ por $4 y^{3} - 3 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ por $4 y^{3} - 3 x$ .

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4 y^{3} - 3 x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$