Cálculo Ejemplos

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{3} y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} y$ .

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Paso 2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ por $x^{3} \cos (x^{3} y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ por $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x^{3} y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ a $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Combina $\frac{3}{x}$ y $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Paso 5.3.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Paso 5.3.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.6

Cancela el factor común de $\cos (x^{3} y)$ .

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Paso 5.3.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Paso 5.3.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

Paso 5.3.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$