Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.8.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.2.8.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 1.1.3.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.11

Suma $4 x + 3$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 1.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

Paso 1.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

Paso 1.4

Divide $\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Paso 2.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Paso 2.9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

Paso 2.10

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.2

Resta $3$ de $2$ .

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Paso 4.5

Multiplica $4 \cdot - 1 + 3$ por $1$ .

$4 \cdot - 1 + 3$

Paso 4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 + 3$

Paso 4.7

Suma $- 4$ y $3$ .

$- 1$