Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ como una función.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{- 6}{3}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.4

Divide $- 2 x^{5}$ por $1$ .

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- \frac{15}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{15}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

Paso 2.1.4.4

Combina $- 4$ y $\frac{15}{2}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

Paso 2.1.4.5

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

Paso 2.1.4.6

Combina $\frac{- 60}{2}$ y $x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

Paso 2.1.4.7

Cancela el factor común de $- 60$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.7.1

Factoriza $2$ de $- 60 x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

Paso 2.1.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

Paso 2.1.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

Paso 2.1.4.7.2.4

Divide $- 30 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $3$ por $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{4}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 60 x^{3}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- \frac{15}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

Paso 4.1.2.1.6.2

Multiplica $0$ por $\frac{15}{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $729$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $243$ .

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{5}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $1$ y $5$ .

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

Paso 4.3.2.1.7

Multiplica $- \frac{15}{2} \cdot 81$ .

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Paso 4.3.2.1.7.1

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

Paso 4.3.2.1.7.2

Combina $- 81$ y $\frac{15}{2}$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

Paso 4.3.2.1.7.3

Multiplica $- 81$ por $15$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

Paso 4.3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Escribe $- 243$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 243}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 243}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2.4

Escribe $729$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{729}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $\frac{729}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $- 243$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $729$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.5.1

Suma $- 486$ y $1458$ .

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $1215$ de $972$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

Paso 4.3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ es $(- 3, - \frac{243}{2})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, - \frac{243}{2})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 60$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 90$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 923.521$ y $1787.46$ .

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

Paso 6.2.2.2

Resta $864.9$ de $863.939$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.961$ .

$- 0.961$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 0.961$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Combina $- 5$ y $\frac{81}{8}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 5$ por $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.10

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.10.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.12

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.14.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14.2

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14.4

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14.5

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.15

Combina $- 15$ y $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.16

Multiplica $- 15$ por $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.17

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.17.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 7.2.1.17.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.19

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.20

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.21

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.22

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.22.1

Factoriza $2$ de $- 90$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.22.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Paso 7.2.1.22.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Paso 7.2.1.22.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

Paso 7.2.1.23

Combina $- 45$ y $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

Paso 7.2.1.24

Multiplica $- 45$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

Paso 7.2.1.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

Paso 7.2.2.2

Resta $405$ de $405$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

Paso 7.2.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

Paso 7.2.4

Suma $- \frac{405}{8}$ y $0$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{405}{8}$ .

$- \frac{405}{8}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $- 50.625$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 60$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 90$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $0.06$ de $- 0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

Paso 8.2.2.2

Resta $0.9$ de $- 0.061$ .

$f'' (0.1) = - 0.961$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.961$ .

$- 0.961$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.961$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión