Cálculo Ejemplos

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int u \sin (u) d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Paso 6.2

Multiplica $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Paso 8

Reescribe $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ como $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\cos (\frac{x}{2})$ y $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ al numerador.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.3.4

Reescribe la expresión.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 10.5

Reordena los factores en $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$