Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{16}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{16}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 2.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $u^{\frac{5}{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $16$ y $6$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ en $- 1$ y en $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.5

Multiplica $\frac{3}{8}$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Paso 8.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Paso 8.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Paso 8.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Paso 8.2.9

Resta $3$ de $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Paso 8.2.10

Cancela el factor común de $0$ y $8$ .

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Paso 8.2.10.1

Factoriza $8$ de $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Paso 8.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.10.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Paso 8.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Paso 8.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Paso 8.2.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Paso 8.2.11

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Paso 8.2.12

Multiplica $0$ por $\frac{8}{3}$ .

$0$

Paso 9