Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.3.2

Combina $e^{\frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.5.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.6.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Simplifica $x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.7.3

Reescribe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ como $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Multiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

Paso 2.11.2

Suma $- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ y $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Reordena los factores en $- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Paso 2.12.2

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 2.12.2.1

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.2

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.12.2.3

Factoriza $e^{\frac{1}{x}}$ de $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.12.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.12.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

Paso 2.12.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

Paso 2.12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.12.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.12.8

Multiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$