Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

Multiplica $\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{x (\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \cos (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\sin (x) - x \ln (x) \cos (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$\frac{- x \cos (x) \ln (x) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- x \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $\sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.6

Reescribe $- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ como $- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Paso 7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \cos (x) \ln (x) - \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$