Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{3} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{- 20}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.3.3

Combina $5$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.3.4

Combina $\frac{5}{4}$ y $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Paso 1.4

Como $\frac{4}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{15}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ y $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.3

Combina $4$ y $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{20}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $4$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $4$ de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.6.2.4

Divide $5 x^{3}$ por $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{20}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{20 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Paso 2.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 3$ por $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{- 60}{3}$ y $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $- 60$ y $3$ .

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Paso 2.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Paso 2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Paso 2.3.7.2.4

Divide $- 20 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$