Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.4.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + 0}$

Paso 1.3.11

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Divide $1 + \ln (1)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \ln (1))$

Paso 4.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Paso 4.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$