Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Paso 5

Dado que $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $9$ y en $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 7.3.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.8

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.10.1

Cancela el factor común.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.10.2

Reescribe la expresión.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.12

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.13

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.14

Suma $18$ y $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.15

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.16

Combina $\frac{1}{2}$ y $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 7.3.17

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 7.3.18

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Paso 7.3.19

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Paso 7.3.20

Suma $\frac{81}{2}$ y $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Paso 7.3.21

Multiplica $\frac{81}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Paso 7.3.22

Multiplica $2$ por $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Paso 7.3.23

Cancela el factor común de $81$ y $6$ .

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Paso 7.3.23.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Paso 7.3.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.23.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Paso 7.3.23.2.2

Cancela el factor común.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Paso 7.3.23.2.3

Reescribe la expresión.

$18 - \frac{27}{2}$

Paso 7.3.24

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 7.3.25

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 7.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Paso 7.3.27

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.27.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Paso 7.3.27.2

Resta $27$ de $36$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9}{2}$

Forma decimal:

$4.5$

Forma de número mixto:

$4 \frac{1}{2}$

Paso 9