Cálculo Ejemplos

$e^{- 2 x} + 2 x$

Paso 1

Escribe $e^{- 2 x} + 2 x$ como una función.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Paso 5

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 12.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Paso 12.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$