Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 7)}{(x^{4} + 6 x)}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6 x}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 4

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Paso 6.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 7 \cdot 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 6 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 8.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$