Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 4 x - 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $3 x^{2} - 4$ y $0$ .

$3 x^{2} - 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 4$ .

$3 x^{2} - 4$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 4$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$2 (2 \sqrt{3})$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sqrt{3}$

Paso 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 11.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 11.2.1.2.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.2.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 11.2.1.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3} - 6$

Paso 11.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 11.2.2

Para escribir $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 6$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 6$

Paso 11.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 11.2.5.1.2

Resta $24 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 11.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $- \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$6 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 13.1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 13.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 13.1.4

Reescribe la expresión.

$2 (- 2 \sqrt{3})$

Paso 13.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Paso 14

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 15.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 15.2.1.3.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.3.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.5

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

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Paso 15.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 15.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 6$

Paso 15.2.1.6.2

Combina $4$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3} - 6$

Paso 15.2.1.6.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} - 6$

Paso 15.2.2

Para escribir $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 6$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 6$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 6$

Paso 15.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 15.2.5.2

Suma $- 8 \sqrt{3}$ y $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $\frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 4 x - 6$ .

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6)$ es un mínimo local

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9} - 6)$ es un máximo local

Paso 17