Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x (x - 5)}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x \cdot - 5}$

Paso 1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5}{x}}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Paso 3.6

Mueve el término $25$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 25 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 5.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 25$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Paso 7.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1 - 5 \cdot 0}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Paso 7.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 7.3

Divide $1$ por $1$ .

$1$