Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + y + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

Paso 3.4

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + y' + 0$

Paso 3.5

Suma $2 + y'$ y $0$ .

$2 + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

Paso 5.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $2 y y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ por $2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ por $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 - 2 x$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

Paso 5.4.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

Paso 5.4.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $- 3$ y $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

Paso 8.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

Paso 8.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{1}$

Paso 8.3.2

Divide $8$ por $1$ .

$8$