Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 5}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ como $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Paso 7.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Paso 9.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Paso 9.3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ a $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Paso 9.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Paso 9.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Paso 9.6

Reordena los términos.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$