Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2}{x^{2}}$ .

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 5.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 5.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 5.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Paso 7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Paso 7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Paso 7.3

Suma $- 3$ y $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Paso 8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$