Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

Paso 1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.5

Combina fracciones.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

Paso 4.5.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Paso 5.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

Paso 5.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

Paso 5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

Paso 5.6

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Paso 5.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Paso 5.9

Multiplica $\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$