Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $k^{2} + 4$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

Paso 7

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $| k^{2} + 4 |$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$