Cálculo Ejemplos

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Paso 1.2.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reordena los factores de $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Paso 1.3.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Paso 3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Paso 4

Multiplica $3$ por $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Paso 5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Paso 6

Resta $8$ de $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Paso 7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $12$ por $1$ .

$y' (2) = 12$