Cálculo Ejemplos

$\int (5 x - 1) \sqrt{x} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (5 x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Expande $(5 x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 5 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 5 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$5 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $5$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 8.2.3.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$